Jamie Mills
Þú gætir haldið að stærðfræði sé það áreiðanlegasta sem mönnum hefur fundist. Það er grundvöllur vísindalegrar hörku og grunnurinn að miklu af annarri þekkingu okkar líka. Og þú gætir haft rétt fyrir þér. En farðu varlega: stærðfræði er ekki allt sem sýnist. „Áreiðanleiki stærðfræðinnar er takmarkaður,“ segir Penelope Maddy , stærðfræðiheimspekingur við háskólann í Kaliforníu, Irvine.
Maddy er enginn samsæriskenningasmiður. Allir stærðfræðingar vita að staðhæfing hennar er sönn vegna þess að viðfangsefni þeirra er byggt á „axiomum“ – og reyna eins og þeir gætu, þeir geta aldrei sannað að þessi axíóm séu sönn.
Axiom er í meginatriðum forsenda byggð á athugunum á því hvernig hlutirnir eru. Vísindamenn fylgjast með fyrirbæri, formfesta það og skrifa niður náttúrulögmál. Á svipaðan hátt nota stærðfræðingar athuganir sínar til að búa til grundvallaratriði. Eitt dæmi er sú athugun að það virðist alltaf vera einstök bein lína sem hægt er að draga á milli tveggja punkta. Gerðu ráð fyrir að þetta sé almennt satt og þú getur byggt upp reglur evklíðskrar rúmfræði. Önnur er sú að 1 + 2 er það sama og 2 + 1, forsenda sem gerir okkur kleift að reikna. „Sú staðreynd að stærðfræði byggir á ósannanlegum grunnsetningum kemur ekki á óvart,“ segir stærðfræðingur Vera Fischer við háskólann í Vínarborg í Austurríki.
Þessar meginreglur gætu virst sjálfsagðar, en stærðfræði nær miklu lengra en reikningur. Stærðfræðingar stefna að því að afhjúpa hluti eins og eiginleika talna, hvernig þær tengjast hver öðrum og hvernig hægt er að nota þá til að móta raunheiminn. Þessi flóknari verkefni eru enn unnin með setningum og sönnunum sem byggðar eru á grunnsetningum, en viðeigandi frumstæður gætu þurft að breytast. Línur á milli punkta hafa aðra eiginleika á bogadregnum flötum en flötir, til dæmis, sem þýðir að undirliggjandi axíóm verða að vera mismunandi í mismunandi rúmfræði. Við verðum alltaf að gæta þess að meginreglur okkar séu áreiðanlegar og endurspegli heiminn sem við erum að reyna að móta með stærðfræði okkar.
Mengjafræði
Gullstaðall fyrir stærðfræðilegan áreiðanleika er mengjafræði, sem lýsir eiginleikum safns hluta, þar á meðal tölurnar sjálfar. Frá og með 1900, þróuðu stærðfræðingar sett undirstöðuatriði fyrir mengifræði þekkt sem ZFC (fyrir „Zermelo-Fraenkel“, frá tveimur frumkvöðlum hennar, Ernst Zermelo og Abraham Fraenkel, auk eitthvað sem kallast „axiom of choice“).
ZFC er öflugur grunnur. „Ef hægt væri að tryggja að ZFC sé í samræmi, gæti allri óvissu um stærðfræði verið eytt,“ segir Maddy. En, hrottalega, það er ómögulegt. „Því miður, það varð fljótt ljóst að samkvæmni þessara fræðiheita var aðeins hægt að sanna með því að gera ráð fyrir enn sterkari setningum,“ segir hún, „sem bersýnilega sigrar tilganginn.
Maddy er óörugg af takmörkunum: „Mengjafræðimenn hafa sannað setningar frá ZFC í 100 ár án þess að sýna mótsögn. Það hefur verið gríðarlega afkastamikið, segir hún, sem gerir stærðfræðingum kleift að búa til engan enda af áhugaverðum niðurstöðum, og þeir hafa jafnvel getað þróað stærðfræðilega nákvæmar mælingar á hversu mikið traust við getum lagt á kenningar fengnar frá ZFC.
Á endanum gætu stærðfræðingar því verið að útvega grunninn sem mikil vísindaleg þekking byggist á, en þeir geta ekki boðið steypujárnstryggingar fyrir því að hún muni aldrei breytast eða breytast. Almennt séð hafa þeir engar áhyggjur af því: þeir yppa öxlum og mæta til vinnu eins og allir aðrir. „Markmiðið með því að fá fullkomið axiomatic kerfi er nákvæmlega eins framkvæmanlegt og markmiðið að öðlast fullkominn skilning á efnislega alheiminum okkar,“ segir Fischer.
Að minnsta kosti eru stærðfræðingar fullkomlega meðvitaðir um tilgangsleysi þess að leita að fullkomnun, þökk sé „ófullkomleika“ setningunum sem Kurt Gödel setti fram á þriðja áratug síðustu aldar. Þetta sýnir að á hvaða sviði stærðfræði sem er, mun gagnleg kenning mynda staðhæfingar um þetta svið sem ekki er hægt að sanna að séu sannar eða rangar. Takmörk á áreiðanlegri þekkingu eru því óumflýjanleg. „Þetta er staðreynd lífsins sem stærðfræðingar hafa lært að lifa með,“ segir David Aspero við háskólann í East Anglia, Bretlandi.
Allt í allt er stærðfræði í nokkuð góðu formi þrátt fyrir þetta – og enginn er of pirraður. „Farðu í hvaða stærðfræðideild sem er og talaðu við alla sem eru ekki rökfræðingar, og þeir munu segja: „Ó, grunnatriðin eru bara til staðar“. Það er það. Og þannig á það að vera. Það er mjög holl nálgun,“ segir Fischer. Reyndar eru takmörkin að sumu leyti það sem gerir þetta skemmtilegt, segir hún. „Möguleikinn á þróun, að verða betri, er einmitt það sem gerir stærðfræði að algerlega heillandi fagi.
