Octonions: Furðulega stærðfræðin sem gæti sameinað náttúrulögmálin

ORÐ geta verið hál. Það á kannski enn frekar við í eðlisfræði en það sem eftir er af lífinu. Hugsaðu til dæmis um „ögn“ og við gætum töfrað fram mynd af pínulitlum kúlu. Í sannleika sagt er „ögn“ bara ljóðrænt hugtak yfir eitthvað sem er fjarri hversdagslegri reynslu okkar – þess vegna nýta bestu lýsingar okkar á raunveruleikanum hina köldu nákvæmni stærðfræðinnar.

En rétt eins og það eru mörg mannamál, þá eru til fleiri en ein tegund af talnakerfi. Flest okkar takast aðeins á við kunnuglega talnalínuna sem byrjar á 1, 2, 3. En önnur og framandi kerfi eru í boði. Undanfarið hafa eðlisfræðingar spurt djúpstæðrar spurningar: hvað ef við erum að reyna að lýsa raunveruleikanum með rangri tegund af tölum?

Hvert stærðfræðikerfi hefur sína sérstöðu, rétt eins og tungumál. Ástarljóð hljóma betur á frönsku. Þýska hefur þann hæfileika að tjá háþróuð hugtök – eins og skaðsemi – í nokkrum atkvæðum. Núna, í kjölfar nýrrar byltingar sem afhjúpar spennandi tengsl milli líkana af því hvernig efni virkar á mismunandi orkukvarða, virðist sífellt líklegra að framandi talnahópur þekktur sem octonions gæti haft það sem þarf til að fanga sannleikann um raunveruleikann.

Stærðfræðingar eru spenntir vegna þess að þeir telja að með því að þýða kenningar okkar um raunveruleikann yfir í tungumál oktonónanna gæti það reddað sumum dýpstu vandamálum eðlisfræðinnar og rutt brautina að „stórri sameinðri kenningu“ sem getur lýst alheiminum í einni yfirlýsingu. „Þetta finnst mér mjög efnileg leið,“ segir Latham Boyle við Perimeter Institute í Waterloo, Kanada. „Mér finnst ómótstæðilegt að hugsa um það.

Marga eðlisfræðinga dreymir um að finna stóra sameinaða kenningu, eina stærðfræðilega ramma sem segir okkur hvaðan náttúruöflin koma og hvernig þau virka á efni. Á gagnrýninni hátt myndi slík kenning einnig fanga hvernig og hvers vegna þessir eiginleikar breyttust í líf alheimsins, eins og við vitum að þeir hafa gert.

Hingað til er það næsta sem við höfum komið er staðlað líkan agnaeðlisfræðinnar, sem lýsir grundvallareindum og krafta alheimsins: rafeindir, kvarkar, ljóseindir og restina. Vandamálið er að staðlaða líkanið hefur sína galla. Til að það virki verðum við að fæða um 20 mældar tölur, eins og massa agna. Við vitum ekki hvers vegna þessar tölur eru eins og þær eru. Það sem verra er, staðallíkanið hefur lítið að segja um rúm-tíma, striga sem agnir lifa í. Við virðumst lifa í fjórvíðu rúm-tíma, en staðlaða líkanið tilgreinir ekki að svo þurfi að vera. “Af hverju ekki, segjum, sjövíddar rúm-tími?” Boyle spyr sig.

Raunverulegar og ímyndaðar tölur

Margir halda að lausnin á þessum veseni komi þegar tilraunir leiða í ljós týndan hluta af staðlaða líkaninu. En eftir margra ára viðleitni hefur þetta ekki gerst og sumir velta því fyrir sér hvort vandamálið sé stærðfræðin sjálf.

Stærðfræðingar hafa vitað um aldir að það er til aðrar tölur en þær sem við getum talið á fingrum okkar. Taktu kvaðratrót af -1, þekktur sem i. Það er ekkert marktækt svar við þessari tjáningu, þar sem bæði 1 × 1 og -1 × -1 eru jöfn 1, þannig að i er „ímynduð tala“. Þeir komust að því að með því að sameina i við rauntölur – sem innihalda allar tölurnar sem þú gætir sett á talnalínu, þar á meðal neikvæðar tölur og aukastafi – gætu þeir mótað nýtt kerfi sem kallast tvinntölur.

Hugsaðu um flóknar tölur sem tvívíðar; tveir hlutar hverrar tölu geta skráð óskylda eiginleika sama hlutarins. Þetta reynist afar vel. Allir rafrænir innviðir okkar byggja á flóknum tölum. Og Skammtafræðin, gríðarlega vel heppnuð lýsing okkar á litlum heimi, virkar ekki án þeirra.

Árið 1843 tók írski stærðfræðingurinn William Rowan Hamilton hlutina skrefinu lengra. Hann bætti rauntölunum og ímynduðu tölunum við tvö mengi ímyndaðra talna til viðbótar sem kallast j og k, og gaf okkur fjórvíddartölurnar, mengi fjórvíddar talna. Innan nokkurra mánaða hafði vinur Hamilton, John Graves, fundið annað kerfi með átta víddum sem kallast oktonjónir.

Rauntölur, tvinntölur, fjórðungsjón og oktonjón eru sameiginlega þekktar sem staðlaðar deilingaralgebra. Þetta eru einu talnasettin sem þú getur framkvæmt samlagningu, frádrátt, margföldun og deilingu. Villtar kerfi eru möguleg – 16-víddar sedenions, til dæmis – en hér brotna venjulegar reglur.

Í dag notar eðlisfræði þrjú af þessum kerfum. Rauntölurnar eru alls staðar nálægar. Flóknar tölur eru nauðsynlegar í agnaeðlisfræði sem og skammtaeðlisfræði. Stærðfræðileg uppbygging almennrar afstæðiskenningar, Kenning Alberts Einsteins um þyngdarafl, er hægt að setja fram á glæsilegan hátt með quaternions.

Oktonjónin standa undarlega í sundur sem eina kerfið sem tengist ekki miðlægu eðlisfræðilegu lögmáli. En hvers vegna ætti náttúran að kortleggja aðeins þrjú af þessum fjórum talnakerfum? „Þetta fær mann til að gruna að oktonónurnar – þær glæsilegustu og minnst skiljanlegu af þessum fjórum – ættu líka að reynast mikilvægar,“ segir Boyle.

Í sannleika sagt hafa eðlisfræðingar verið að hugsa um slíkar hugsanir síðan á áttunda áratugnum, en octonions eiga enn eftir að uppfylla loforð sitt. Michael Duff við Imperial College í London var, og er enn, laðaður að octonions, en hann veit að margir hafa reynt og mistekist að ráða hlutverk sitt í að lýsa veruleikanum. „Októnónarnir urðu þekktir sem kirkjugarður fræðilegrar eðlisfræði,“ segir hann.

Það hefur ekki slegið í gegn nýrri kynslóð octonion wranglers, þar á meðal Nichol Furey við Humboldt háskólann í Berlín. Henni finnst gaman að skoða spurningar í eðlisfræði án þess að gefa sér neinar forsendur. „Ég reyni að leysa vandamál alveg frá grunni,“ segir hún. „Með því að gera það geturðu oft fundið aðrar leiðir sem fyrri höfundar gætu hafa misst af. Núna virðist sem hún og aðrir gætu verið að byrja að byltingum í áttatíu.

Innri samhverfa í skammtafræði

Til að ná tökum á verkum Fureys hjálpar það að skilja hugtak í eðlisfræði sem kallast innri samhverfa. Þetta er ekki það sama og snúnings- eða endurskinssamhverfa snjókorns. Þess í stað vísar það til fjölda óhlutbundinna eiginleika, svo sem eðli ákveðinna krafta og tengsla milli grundvallaragna. Allar þessar agnir eru skilgreindar af röð skammtatalna – massa þeirra, hleðslu og skammtaeiginleika sem kallast snúningur, til dæmis. Ef ögn breytist í aðra ögn – rafeind sem verður að nifteind, segjum – munu sumar þessar tölur breytast en aðrar ekki. Þessar samhverfur skilgreina uppbyggingu staðlaða líkansins.

Innri samhverfa er miðlæg í leitinni að stórri sameinðri kenningu. Eðlisfræðingar hafa þegar fundið ýmis stærðfræðilíkön sem gætu útskýrt hvernig raunveruleikinn virkaði á þeim tíma þegar alheimurinn hafði miklu meiri orku. Við þessar hærri orku er talið að það hefði verið meiri samhverfa, sem þýðir að sumir kraftar sem við upplifum núna sem aðgreindir hefðu verið eitt og hið sama. Engu af þessum gerðum hefur tekist að koma þyngdaraflinu inn í fellinguna: það myndi krefjast enn meiri „kenningu um allt“. En þeir sýna til dæmis að rafsegulkrafturinn og veikur kjarnakrafturinn hefðu verið einn „rafveikur“ kraftur þar til sekúndubroti eftir miklahvell. Þegar alheimurinn kólnaði brotnaði sum samhverfan, sem þýðir að þetta tiltekna líkan ætti ekki lengur við.

Hvert mismunandi tímabil krefst mismunandi stærðfræðilíkans með smám saman minnkandi fjölda samhverfa. Í vissum skilningi innihalda þessar gerðir allar hvert annað, eins og sett af rússneskum dúkkum.

Einn vinsælasti frambjóðandinn fyrir ystu dúkkuna – hina stóru sameinuðu kenningu sem inniheldur allar hinar – er þekktur sem spin(10) líkanið. Það hefur heilar 45 samhverfur. Í einni samsetningu, inni í þessu situr Pati-Salam líkanið, með 21 samhverfu. Síðan kemur vinstri-hægri samhverfa líkanið, með 15 samhverfum, þar á meðal einn sem kallast jöfnuður, sú tegund vinstri-hægri samhverfu sem við mætum þegar við horfum í spegil. Að lokum komumst við að venjulegu líkaninu, með 12 samhverfum. Ástæðan fyrir því að við rannsökum hvert þessara líkana er að þau virka; samhverfa þeirra er í samræmi við tilraunagögn. En við höfum aldrei skilið hvað ræður því hvaða samhverfur falla frá á hverju stigi.

Í ágúst 2022 sýndi Furey, ásamt Mia Hughes við Imperial College í London, í fyrsta sinn að deildalgebrurnar, þar á meðal oktonjónirnar, gætu veitt þennan tengil . Til þess notuðu þeir hugmyndir sem Furey hafði fyrir mörgum árum um að þýða allar stærðfræðilegar samhverfur og agnalýsingar ýmissa líkana yfir á tungumál deilingaralgebra. „Þetta tók langan tíma,“ segir Furey. Verkefnið krefst þess að nota Dixon algebruna, talnasett sem gerir þér kleift að sameina raunverulega, flókna, kvartóníu og oktonjóna stærðfræði. Niðurstaðan var kerfi sem lýsir mengi oktonjóna sem tilgreind eru með fjórhyrningum, sem aftur eru tilgreind með tvinntölum sem eru tilgreindar með mengi rauntalna. „Þetta er frekar brjálað dýr,“ segir Hughes.

Það er líka öflugt dýr. Nýja samsetningin afhjúpaði forvitnilegt einkenni rússnesku dúkkulaganna. Þegar sumum tölum sem taka þátt í fléttunni, quaternion og octonion samsetningum er skipt úr jákvæðum í neikvæðar, eða öfugt, breytist sum samhverfan og önnur ekki. Aðeins þeir sem ekki finnast í næsta lagi niður. „Það gerði okkur kleift að sjá tengsl milli þessara vel rannsökuðu agnalíkana sem ekki hafði verið tekið upp áður,“ segir Furey. Þessi „deilingaralgebruíska spegilmynd“, eins og Furey kallar hana, gæti ráðið því sem við mætum í hinum raunverulega efnislega alheimi og – ef til vill – sýnt okkur samhverfu-rofandi veginn upp að hinni langþráðu stóru sameinuðu kenningu.

Niðurstaðan er ný og Furey og Hughes hafa ekki enn getað séð hvert það gæti leitt. „Það gefur í skyn að það gæti verið eitthvað ferli sem rjúfi eðlisfræðilega samhverfu sem veltur einhvern veginn á þessum algebrufræðilegu hugleiðingum, en enn sem komið er er eðli þess ferli frekar dularfullt,“ segir Hughes.

Furey segir að niðurstaðan gæti haft þýðingu fyrir tilraunir. „Við erum núna að kanna hvort deilingaralgebrurnar séu að segja okkur hvað er hægt og ekki hægt að mæla beint á mismunandi orkukvarða,“ segir hún. Þetta er í vinnslu, en greining á hugleiðingunum virðist benda til þess að það séu ákveðin sett mælingar sem eðlisfræðingar ættu að geta gert á ögnum við lága orku – svo sem mæling á snúningi rafeindarinnar – og ákveðna hluti sem vinna. ekki vera mælanleg, eins og litahleðsla kvarka.

Meðal þeirra sem vinna á oktonjónum eru rannsóknirnar að gera öldur. Duff segir að það sé tiltölulega ný nálgun að reyna að passa stöðluðu líkanið inn í áttundarmál: „Ef það borgaði sig væri það mjög mikilvægt, svo það er þess virði að prófa. Corinne Manogue við Oregon State University hefur unnið með octonions í áratugi og hefur séð áhuga ebba og flæða. „Þetta augnablik virðist vera tiltölulega há,“ segir hún, „aðallega, held ég, vegna sterks orðspors og málsvara Furey.

Innsýnin frá octonions stoppar ekki þar. Boyle hefur verið að leika sér með aðra framandi stærðfræði sem kallast „óvenjuleg Jordan algebru“, sem þýski eðlisfræðingurinn Pascual Jordan fann upp á þriðja áratug síðustu aldar. Með því að vinna með tveimur öðrum ljósum skammtafræðinnar, Eugene Wigner og John von Neumann, fann Jordan safn af stærðfræðilegum eiginleikum skammtafræðinnar sem stóðst flokkun og voru nátengd oktonjónunum.

Skoðaðu þessa einstöku Jordan algebru nógu djúpt og þú munt komast að því að hún inniheldur stærðfræðilega uppbyggingu sem við notum til að lýsa fjórvíðu rúm-tíma Einsteins. Það sem meira er, við höfum vitað í áratugi að innan hinnar óvenjulegu Jórdaníu algebru finnur þú sérkennilega stærðfræðilega uppbyggingu sem við fengum í gegnum algjörlega aðskilda leið og ferli snemma á áttunda áratugnum til að lýsa ögnum og kröftum staðlaða líkansins. Með öðrum orðum, þetta er áttatónísk tengsl milli kenninga okkar um rúm, tíma, þyngdarafl og skammtafræði. „Mér finnst þetta mjög sláandi, forvitnileg og leiðbeinandi athugun,“ segir Boyle.

Til að bregðast við þessu hefur Boyle grafið dýpra og uppgötvað eitthvað forvitnilegt við það hvernig flokkur agna sem kallast fermjónir, sem inniheldur algengar agnir eins og rafeindir og kvarkar, passar inn í tungumálið sem byggir á oktonjónum. Fermjónir eru „chiral“, sem þýðir að spegilmyndir þeirra – samhverfan sem eðlisfræðingar kalla jöfnuð – líta öðruvísi út. Þetta hafði skapað vandamál við innlimun fermjóna í octonion-undirstaða útgáfur af venjulegu líkaninu. En Boyle hefur nú fundið leið til að laga það – og það hefur heillandi snúning. Að endurheimta samhverfu spegilsins sem er brotin í stöðluðu líkaninu gerir einnig áttundarfermjónum kleift að sitja þægilega í vinstri-hægri samhverfu líkaninu, einu stigi lengra upp í átt að stóru sameinuðu kenningunni.

Handan miklahvells

Þessi hugsunarháttur gæti jafnvel leitt okkur út fyrir hina stóru sameinuðu kenningu, í átt að skýringu á því hvaðan alheimurinn kom. Boyle hefur unnið með Neil Turok, samstarfsmanni sínum við Perimeter Institute, að því sem þeir kalla „ tveggja blaða alheim “ sem felur í sér samhverfu sem kallast hleðsla, jöfnuður og tími (CPT). „Í þessari tilgátu er Miklihvellur er eins konar spegill sem aðskilur okkar helming alheimsins frá CPT spegilmynd hans hinum megin við hvellinn,“ segir Boyle. Oktonionic eiginleikar fermjóna sem sitja í vinstri-hægri samhverfu líkaninu skipta máli við að þróa samhangandi kenningu fyrir þennan alheim, það kemur í ljós. „Mig grunar að sameining áttundu myndarinnar og tveggja blaða myndarinnar af alheiminum sé frekar skref í þá átt að finna rétta stærðfræðilega rammann til að lýsa náttúrunni,“ segir Boyle.

Eins og með allar uppgötvanir sem tengja oktonjónin við eðlisfræðikenningar okkar hingað til, þá er verk Boyle aðeins til kynna. Enginn hefur enn búið til fullkomna eðlisfræðikenningu sem byggir á oktonjónum sem gerir nýjar spár sem við getum prófað með því að nota agnaárekstra, til dæmis. „Það er ekkert áþreifanlegt ennþá: það er ekkert sem við getum sagt tilraunamönnum að fara og leita að,“ segir Duff. Furey er sammála: „Það er mikilvægt að segja að við erum hvergi nærri búin.

En Boyle, Furey, Hughes og margir aðrir eru í auknum mæli niðursokkinn af þeim möguleika að þessi undarlega stærðfræði gæti í raun verið besta leiðin okkar til að skilja hvaðan náttúrulögmálin koma. Reyndar telur Boyle að aðferðin sem byggir á octonion gæti verið alveg eins frjósöm og að gera nýjar tilraunir til að finna nýjar agnir. „Flestir eru að ímynda sér að næsta framfaramál verði frá nýjum hlutum sem falla á borðið,“ segir hann. „Það væri frábært, en kannski höfum við ekki enn lokið ferlinu við að passa núverandi hluti saman.