Setning alls: Leyndarmálið sem tengir tölur og form - Vísir IS

EF JOEY var á aldrinum Chloe þegar hann var tvisvar sinnum eldri en Zoe, hversu mörgum sinnum eldri verður Zoe þegar Chloe er tvöfalt eldri en Joey er núna?

Eða prófaðu þennan fyrir stærð. Tveir bændur erfa ferkantaðan reit sem inniheldur uppskeru sem er gróðursett í hring. Án þess að vita nákvæmlega stærð túnsins eða uppskerunnar, eða staðsetningu uppskerunnar innan túnsins, hvernig geta þeir dregið eina línu til að skipta bæði uppskerunni og akrinum jafnt?

Þú hefur annað hvort fallið í kaldan svita eða þú ert að skerpa blýantinn (ef þú getur ekki beðið eftir svarinu geturðu athugað neðst á þessari síðu). Hvort heldur sem er, þó að bæði vandamál teljist „stærðfræði“ – eða „stærðfræði“ ef þú heldur því fram – eru þau greinilega mjög ólík. Einn er reikningur, sem fjallar um eiginleika heilra talna: 1, 2, 3 og svo framvegis eins langt og þú getur talið. Það er sama um hversu margir aðskildir hlutir eru, en ekki hvernig þeir líta út eða hvernig þeir hegða sér. Annað er rúmfræði, fræðigrein sem byggir á hugmyndum um samfellu: línur, form og annarra hluta sem hægt er að mæla, og rýmistengsl þeirra á milli.

Stærðfræðingar hafa lengi reynt að byggja brýr á milli þessara tveggja forn viðfangsefni, og smíða eitthvað eins og „stór sameinaða kenningu“ um fræðigrein sína. Nýlega gæti einn snilldar ungur vísindamaður fært þá afgerandi nær. Róttækin ný rúmfræðileg innsýn hans gæti ekki aðeins sameinað stærðfræði, heldur einnig hjálpað til við að leysa eitt dýpsta talnavandamálið af þeim öllum: gátuna um frumtölurnar. Með stærstu verðlaunum í stærðfræði, Fields-verðlaunin, sem verða veitt nú í ágúst, er hann farinn að líta út eins og skot.

Forngríski heimspekingurinn og stærðfræðingurinn Aristóteles skrifaði einu sinni: „Við getum ekki sannað rúmfræðileg sannindi með reikningi. Hann efaðist um að hann trúði því að rúmfræði gæti ekki hjálpað með tölur heldur. Það var varla umdeild tilhugsun fyrir þann tíma. Rúmfræðilegar sönnunargögn Euklíðs Aristótelesar, sem var næstum samtíða, oft kallaður faðir rúmfræðinnar, studdist ekki við tölur, heldur rökrænar vísbendingar sem stækkuðu í sannanir með því að teikna línur og form. Tölur voru til á allt öðru, óhlutbundnara plani, óaðgengilegar tækjum jarðmælinga.

Og þannig hélst það að mestu þangað til, á 1600, Frakkinn René Descartes notaði tækni algebru – að leysa jöfnur og meðhöndla óhlutbundin tákn – til að setja rúmfræði Evklíðs á alveg nýjan grunn. Með því að kynna hugmyndina um að hægt væri að lýsa rúmfræðilegum punktum, línum og formum með tölulegum hnitum á undirliggjandi rist, leyfði hann jarðmælum að nýta sér verkfærakistuna í reikningi og leysa vandamál með tölulegum hætti.

Þetta var tunglskot sem gerði okkur að lokum kleift að gera hluti eins og að senda eldflaugar út í geiminn eða finna staðsetningar með nálarhári nákvæmni á jörðinni. En fyrir hreinan stærðfræðing er þetta aðeins áfangastaður. Hring, til dæmis, getur verið fullkomlega umlykur með algebrujöfnu. En hringur teiknaður á línuritspappír, framleiddur með því að teikna upp lausnir jöfnunnar, myndi alltaf fanga brot af þeim sannleika. Breyttu talnakerfinu sem þú notar, til dæmis – eins og hreinn stærðfræðingur gæti gert – og jöfnan heldur gildi sínu, á meðan teikningin gæti ekki lengur verið gagnleg.

Vindur áfram til 1940 og annar Frakki var djúpt æfður af skilinu á milli rúmfræði og talna. André Weil var vistaður í fangelsi rétt fyrir utan Rouen, eftir að hafa neitað að skrá sig mánuðina fyrir hernám Þjóðverja í Frakklandi – lukkulegt hlé, eins og það kom í ljós. Í bréfi til eiginkonu sinnar skrifaði hann: „Ef það er bara í fangelsinu sem ég vinn svona vel, þarf ég þá að gera ráðstafanir til að eyða tveimur eða þremur mánuðum innilokaður á hverju ári?

Weil vonaðist til að finna Rosetta-stein á milli algebru og rúmfræði, uppflettirit sem myndi gera kleift að þýða sannleika á einu sviði yfir á hinu. Á bak við lás og slá fann hann brot.

Það hafði með Riemann tilgátuna að gera, a alræmd vandamál um hvernig þessar heillandi tölur, frumtölurnar, eru dreifðar ( sjá hér að neðan ). Það hafði þegar verið gefið í skyn að tilgátan gæti átt sér rúmfræðilegar hliðstæður. Á þriðja áratugnum hafði verið sannað afbrigði fyrir hluti sem kallast sporöskjulaga ferlar. Í stað þess að reyna að reikna út hvernig frumtölur dreifast, segir stærðfræðingur Ana Caraiani við Imperial College London, „þú getur tengt það við að spyrja hversu marga punkta ferill hefur“.

Weil sannaði að þessi Riemann-tilgáta jafngildi átti við um margs konar flóknari ferla líka. Múrinn sem hafði staðið á milli þessara tveggja fræðigreina frá forngrískum tíma virtist loksins vera að molna. „Sönnun Weil markar upphaf vísindanna með ó-aristótelískasta nafni reiknings rúmfræði,“ segir Michael Harris við Columbia háskólann í New York.

Á eftirstríðsárunum, í þægilegri umgjörð Chicago-háskóla, reyndi Weil að beita innsýn sinni á víðtækari gátu prime, án árangurs. Kyndilinn var tekinn upp af Alexander Grothendieck, stærðfræðingi sem talinn var einn sá besti á 20. öld. Á sjöunda áratugnum endurskilgreindi hann reikningsrúmfræði.

Meðal annarra nýjunga gaf Grothendieck menginu af heilum tölum það sem hann kallaði „róf“, í stuttu máli Spec(Z). Punktar þessarar óteiknanlegu rúmfræðilegu einingar voru nátengdir frumtölunum. Ef þú gætir einhvern tíma fundið út heildarform þess gætirðu fengið innsýn í dreifingu prímtalna. Þú hefðir byggt brú á milli reiknings og rúmfræði sem lá beint í gegnum Riemann tilgátuna.

Lögunin sem Grothendieck var að leita að fyrir Spec(Z) var algjörlega frábrugðin hvers kyns rúmfræðilegu formi sem við gætum þekkst: hringi og þríhyrninga Euclids, eða fleygboga og sporbaugur Descartes teiknaðar á línuritspappír. Í evklíðsku eða kartesísku flugi er punktur bara punktur á sléttu yfirborði, segir Harris, “en Grothendieck punktur er meira eins og hugsunarháttur um flugvélina”. Það tekur til allra hugsanlegra nota sem hægt er að nota flugvél, eins og möguleikann á að teikna þríhyrning eða sporbaug á yfirborð þess, eða jafnvel vefja því kortalíkt um kúlu.

Ef það skilur þig eftir týndan ertu í góðum félagsskap. Jafnvel Grothendieck náði ekki að reikna út rúmfræði Spec(Z), hvað þá að leysa Riemann tilgátuna. Þar kemur Peter Scholze inn í söguna.

„Jafnvel meirihluti stærðfræðinga finnst flest vinnan óskiljanleg“

Scholze fæddist í Dresden í því sem þá var Austur-Þýskaland árið 1987 og er nú, þrítugur að aldri, prófessor við háskólann í Bonn . Hann lagði fyrstu múrsteinana fyrir brú sína sem tengir saman reikning og rúmfræði í doktorsritgerð sinni, sem gefin var út árið 2012 þegar hann var 24. Í henni kynnti hann framlengingu á rúmfræði í Grothendieck-stíl, sem hann kallaði fullkomna rúmfræði. Bygging hans er byggð á kerfi talna sem kallast p-adík og eru nátengd frumtölunum (sjá “ The p-adics: Önnur leið til að gera tölur ”). Lykilatriðið er að í fullkomnu rúmfræði Scholze er hægt að láta frumtölu, táknuð með tengdum p-adics hennar, hegða sér eins og breyta í jöfnu, sem gerir kleift að beita rúmfræðilegum aðferðum í reiknilegu umhverfi.

Það er ekki auðvelt að útskýra mikið meira. Nýsköpun Scholze táknar „eina erfiðustu hugmynd sem nokkurn tíma hefur verið kynnt í stærðfræði rúmfræði, sem hefur langa hefð fyrir erfiðum hugmyndum,“ segir Harris. Jafnvel meirihluti starfandi stærðfræðinga finnst flest það óskiljanlegt, bætir hann við.

Hvað sem því líður, á undanförnum árum, hafa Scholze og nokkrir frumkvöðlar notað nálgunina til að leysa eða skýra mörg vandamál í reiknifræði, við mikinn fögnuð. „Hann er í raun einstakur sem stærðfræðingur,“ segir Caraiani, sem hefur verið í samstarfi við hann. „Það er mjög spennandi að vera stærðfræðingur sem starfar á sama sviði.

Nú í ágúst ætla stærðfræðingar heimsins að koma saman í Rio de Janeiro í Brasilíu á nýjasta alþjóðlega þingið sitt, jamboree sem haldið er á fjögurra ára fresti. Miðpunktur viðburðarins er veiting Fields-medalíanna. Allt að fjórar af þessum verðlaunum eru veittar í hvert sinn til stærðfræðinga undir 40 ára aldri og að þessu sinni er eitt nafn sem allir búast við að verði á listanum. „Mig grunar að eina leiðin sem hann geti sloppið við að fá Fields-medalíu í ár sé ef nefndin ákveður að hann sé nógu ungur til að bíða í fjögur ár í viðbót,“ segir Marcus du Sautoy við háskólann í Oxford.

Peter Scholze, 30, lítur út fyrir að hafa fengið hæstu viðurkenningu í stærðfræði í sumar

dpa picture alliance / Alamy Stock mynd

Þegar svo margar stórkostlegar útsýni opnast, verður spurningin um Spec(Z) og Riemann tilgátuna næstum aukaatriði. En nýjar aðferðir Scholze hafa gert honum kleift að rannsaka rúmfræðina, í þeim skilningi sem Grothendieck var brautryðjandi, sem þú myndir sjá ef þú skoðar ferilinn Spec(Z) í smásjá í kringum punktinn sem samsvarar frumtölu p. Það er enn langt frá því að skilja ferilinn í heild sinni eða sanna Riemann tilgátuna, en verk hans hafa gefið stærðfræðingum von um að þessu fjarlæga markmiði gæti enn verið náð. „Jafnvel þetta er mikil bylting,“ segir Caraiani.

Perfectoid rými Scholze hafa gert kleift að byggja brýr í algjörlega mismunandi áttir líka. Fyrir hálfri öld, árið 1967, skrifaði hinn þá þrítugi Princeton stærðfræðingur Robert Langlands með semingi bréf til Weil þar sem hann útlistaði stórkostlega nýja hugmynd. „Ef þú ert til í að lesa það sem hreinar vangaveltur, þá myndi ég þakka það,“ skrifaði hann. “Ef ekki – ég er viss um að þú hafir ruslakörfu við höndina.”

Í bréfi sínu lagði Langlands til að tvær algjörlega aðskildar greinar stærðfræðinnar, talnafræði og harmonikugreining, gætu tengst. Það innihélt fræ þess sem varð þekkt sem Langlands forritið, gríðarlega áhrifamikill röð getgáta sem sumir stærðfræðingar hafa tekið til að kalla stóra sameinaða kenningu sem er fær um að tengja saman þrjár helstu stærðfræðigreinarnar: reiknifræði, rúmfræði og greiningu, breitt svið sem við lendum í. í skóla í formi reiknings. Hundruð stærðfræðinga um allan heim, þar á meðal Scholze, eru staðráðnir í að ljúka því.

Allar tilgátur Langlands eru ekki líklegri en upprunalega Riemann tilgátan til að sannast fljótlega. En stórkostlegar uppgötvanir gætu verið í vændum: Síðasta setning Fermats, sem tók 350 ár að sanna áður en breski stærðfræðingurinn Andrew Wiles gerði það loksins árið 1994, er aðeins ein sérstök afleiðing af tilgátum hennar. Nýlega lagði franski stærðfræðingurinn Laurent Fargues til leið til að byggja á vinnu Scholze til að skilja þætti Langlands-áætlunarinnar sem varða p-adics. Hermt er að lausn að hluta gæti komið fram í tæka tíð fyrir Ríó-fundinn.

Í mars hlaut Langlands hin stóru stærðfræðiverðlaunin, Abel-verðlaunin, fyrir ævistarf sitt. „Það tók langan tíma að viðurkenna mikilvægi hugmynda Langlands,“ segir Caraiani, „og þær voru tímabærar að fá stór verðlaun. Scholze virðist ólíklegt að þurfa að bíða svona lengi.