Robert Brook/Getty
Stærðfræðingar eru agndofa yfir þeirri uppgötvun frumtölur eru valmeiri en áður var talið. Uppgötvunin bendir til þess að talnafræðingar þurfi að vera aðeins varkárari þegar þeir kanna hið mikla óendanlegt frumtölur.
Frumtölur, tölurnar sem aðeins er deilanlegar með sjálfum sér og 1, eru byggingareiningarnar sem restin af talnalínunni er byggð upp úr, þar sem allar aðrar tölur eru búnar til með því að margfalda frumtölur saman. Það gerir það að verkum að ráða leyndardóma þeirra er lykillinn að því að skilja grundvallaratriði reiknings.
Þó að það sé fyrirfram ákveðið hvort tölur séu frumtölur eða ekki, þá hafa stærðfræðingar enga leið til að spá fyrir um hvaða tölur eru frumtölur og hafa því tilhneigingu til að meðhöndla þær eins og þær komi af handahófi. Nú hafa Kannan Soundararajan og Robert Lemke Oliver frá Stanford háskólanum í Kaliforníu uppgötvað að það er ekki alveg rétt.
„Þetta var mjög skrítið,“ segir Soundararajan. „Þetta er eins og eitthvað málverk sem þú þekkir mjög vel og svo skyndilega áttarðu þig á því að það er mynd í málverkinu sem þú hefur aldrei séð áður.
Óvænt röð
Svo bara hvað hefur fengið stærðfræðinga til að hræðast? Fyrir utan 2 og 5 enda allar frumtölur á 1, 3, 7 eða 9 – þær verða að gera það, annars væru þær deilanlegar með 2 eða 5 – og hver endinganna fjögurra er jafn líkleg. En þegar þeir leituðu í gegnum frumtölurnar tóku parið eftir því að frumtölum sem enda á 1 voru ólíklegri til að fylgja öðru frumtölum sem endar á 1. Það ætti ekki að gerast ef frumtölurnar væru raunverulega tilviljunarkenndar – samfelldar frumtölur ættu ekki að vera sama um tölur nágranna síns .
„Í fáfræði héldum við að hlutirnir yrðu nokkurn veginn jafnir,“ segir Andrew Granville við háskólann í Montreal, Kanada. „Maður trúði því vissulega að í spurningu eins og þessari hefðum við mjög sterkan skilning á því sem var að gerast.
Parið komst að því að á fyrstu hundrað milljón frumtölum er aðal sem endar á 1 fylgt eftir af öðru sem endar á 1 aðeins 18,5 prósent af tímanum. Ef frumtölunum var dreift af handahófi, myndirðu búast við að sjá tvær 1-tölur við hliðina á hvor öðrum 25 prósent af tímanum. Frumtölur sem enda á 3 og 7 taka upp slakann, hver á eftir 1 á móti 30 prósentum af frumtölum, en 9 kemur á eftir 1 í um 22 prósent tilvika.
Svipuð mynstur komu fram fyrir aðrar samsetningar endinga, allar frávik frá væntanlegum tilviljunarkenndum gildum. Parið fann þá einnig í öðrum grunni, þar sem tölur eru taldar í öðrum einingum en 10s. Það þýðir að mynstrin eru ekki afleiðing af grunn-10 númerakerfi okkar, heldur eitthvað sem fylgir frumtölunum sjálfum. Mynstrið verður meira í takt við tilviljun eftir því sem þú telur hærra – parið hefur athugað allt að nokkrar trilljónir – en heldur áfram.
„Það kom mér mjög á óvart,“ segir James Maynard við Oxford-háskóla í Bretlandi, sem þegar hann heyrði af verkinu framkvæmdi strax sína eigin útreikninga til að athuga hvort mynstrið væri til staðar. „Ég þurfti einhvern veginn að sjá það sjálfur til að trúa því virkilega.
Að teygja sig út í hið óendanlega
Sem betur fer telja Soundararajan og Lemke Oliver sig hafa skýringu. Mikið af nútímarannsóknum á frumtölum er undirbyggt GH Hardy og John Littlewood, tveir stærðfræðingar sem unnu saman við háskólann í Cambridge snemma á 20. öld . Þeir fundu upp leið til að áætla hversu oft pör, þrefaldir og stærri flokkar frumtölur munu birtast, þekkt sem k -túpla tilgátan.
Rétt eins og hjá Einstein Afstæðiskenningin er framfarir á þyngdaraflkenningu Newtons, Hardy-Littlewood tilgátan er í meginatriðum flóknari útgáfa af þeirri forsendu að frumtölur séu tilviljunarkenndar – og þessi nýjasta uppgötvun sýnir hvernig forsendurnar tvær eru ólíkar. „Stærðfræðingar ganga um og gera ráð fyrir að frumtölur séu tilviljunarkenndar og 99 prósent af þeim tíma sem þetta er rétt, en þú þarft að muna 1 prósent af tímanum sem það er ekki,“ segir Maynard.
Hjónin notuðu vinnu Hardy og Littlewood til að sýna fram á að flokkarnir sem tilgátan gefur til eru ábyrgir fyrir því að kynna þetta síðasta tölustafa mynstur, þar sem þeir setja takmarkanir á hvar síðasti stafurinn í hverjum frumtölu getur fallið. Það sem meira er, þegar frumtölurnar teygja sig út í hið óendanlega, hrista þeir að lokum af sér mynstrið og gefa tilviljunarkennda dreifingu sem stærðfræðingar eru vanir að búast við.
„Upphafleg hugsun okkar var að ef það væri skýring að finna, verðum við að finna hana með því að nota k -tuple getgátuna,“ segir Soundararajan. „Okkur fannst að við myndum geta skilið það, en það var algjör þraut að komast að því.
Enn á eftir að sanna k -tuple getgátuna, en stærðfræðinga grunar sterklega að hún sé rétt vegna þess að hún er svo gagnleg til að spá fyrir um hegðun frummælanna. „Þetta er nákvæmasta tilgátan sem við höfum, hún stenst hvert einasta próf með glæsibrag,“ segir Maynard. „Ef eitthvað er þá lít ég á þessa niðurstöðu sem enn frekari staðfestingu á tilgátunni um k -tuple.
Þó að nýja niðurstaðan muni ekki hafa neinar tafarlausar umsóknir um langvarandi vandamál varðandi frumtölur eins og tvílita getgáta eða Riemann tilgáta, það hefur gefið vellinum smá hristing. „Það gefur okkur meiri skilning, hvert smáhluti hjálpar,“ segir Granville. „Ef það sem þú tekur sem sjálfsagðan hlut er rangt, fær það þig til að endurskoða aðra hluti sem þú veist.
Tímarittilvísun : arxiv.org/abs/1603.03720
