Talan sem er of stór fyrir alheiminn

Það eru margir tölur sem falla alveg eðlilega inn í hversdagslíf okkar. Talan fimm telur til dæmis stofnmeðlimi vinsælu bresku hljómsveitarinnar One Direction, númerið 31 milljón, hversu marga fylgjendur þeir hafa á Twitter og númerið núll, fjölda fylgjenda sem hafa í raun ágætis tónlistarsmekk (því miður!).

En það eru líka tölur sem eru mikilvægar fyrir stærðfræðinga sem geta aldrei passað inn í hversdagslíf okkar. Það eru jafnvel þeir sem gætu aldrei passað inn í alheiminn. Eins og TRÆ(3). Leyfðu mér að útskýra.

TRÆ(3) er risastór, tala svo stór að hann dvergar sumum stórkostlegum frændum sínum eins og googol (tíu til hundrað), eða googolplex (tíu í googol), eða jafnvel hinn ótti Grahams tala (of stór að skrifa). TREE(3) kemur, alveg stórkostlega, úr stærðfræðileik sem kallast Leikir trjánna. Hugmyndin með leiknum er að byggja a skógur af trjám úr mismunandi samsetningum fræja. Stærðfræðilega eru trén bara litaðir dropar (fræin) tengd með línum (greinunum). Þegar þú byggir skóginn verður fyrsta tréð þitt aðeins að hafa í mesta lagi eitt fræ, annað tré þitt verður að hafa að hámarki tvö fræ, og svo framvegis. Skógurinn deyr alltaf þegar þú byggir tré sem inniheldur eitt af eldri trjánum. Það er nákvæm stærðfræðileg merking að „inniheldur eitt af eldri trjánum“, en í rauninni er ekki leyfilegt að skrifa niður neinar samsetningar af kubbum og greinum sem hafa farið á undan.

Um áramótin 1960 hafði Game of Trees vakið áhuga hins mikla slúðrandi ungverska stærðfræðings. Paul Erdős. Erdős er þekktur fyrir að vera afkastamikill samstarfsmaður og skrifaði ritgerðir með yfir 500 öðrum stærðfræðingum. Hann var líka sérvitringur sem mætti fyrirvaralaust á heimili samverkamanna sinna. Hann myndi búast við mat og gistingu og vísa börnum þeirra á bug sem „epsilon“, hugtakið stærðfræðingar nota oft um eitthvað óendanlega lítið. En Erdős væri líka vopnaður safni áhugaverðra stærðfræðilegra vandamála, og ef hann hefði komið að dyrum þínum, eru líkurnar á því að hann hafi haldið að þú gætir leyst það. Í þessari tilteknu sögu var Erdős að biðja alla sem kærðu sig um að hlusta hvort Game of Trees gæti varað að eilífu. Við Princeton háskólann var ungur stærðfræðingur, sem hafði nýlokið doktorsprófi, áhugasamur um að takast á við nýjasta vandamál Erdős. Hann hét Joseph Kruskal og gat sannað að leikir trjánna gætu aldrei varað í eilífð, en þeir gætu haldið áfram í mjög langan tíma.

Svo hversu lengi getur leikurinn í raun varað? Þetta fer eftir því hversu margar mismunandi tegundir af fræi þú hefur. Ef þú ert aðeins með eina frætegund getur skógurinn ekki haft fleiri en eitt tré. Fyrir tvær tegundir af fræi hefurðu að hámarki þrjú tré. Um leið og við bætum við þriðju tegund af fræi springur leikurinn. Hámarksfjöldi trjáa stangast á við allan skilning og stökkva í átt að raunverulegu tölulegu leviatani sem kallast TREE(3).

Leikir eins og Game of Trees eru mikilvægir. Þeir geta oft skipt sköpum til að skilja ferla sem fela í sér einhvers konar greiningu, svo sem ákvarðanaalgrím í tölvunarfræði eða þróun veira og mótefna í faraldsfræði. Og samt, þrátt fyrir þessi raunverulegu forrit, geta þau líka búið til fjölda sem er of stór fyrir alheimsins.

TRÉ(3) er í raun svo stórt. Til að sjá hvers vegna, ímyndaðu þér að þú sest niður með vini þínum og ákveður að spila Game of Trees með þremur mismunandi tegundum af fræi. Þú veist að leikurinn getur varað í smá stund svo þú spilar eins hratt og þú getur án þess að brjóta upp samfelluna í rúm-tíma. Með öðrum orðum, þú teiknar tré á 0,00000000000000000000000000000000000000000000000000 sekúndna fresti. Það jafngildir Planck tímanum, handan sem efni rúms og tíma er gagntekið af skammtaáhrif.

Eftir ár muntu hafa teiknað meira en trilljón trilljón trilljón trilljón tré, en þú munt hvergi vera nálægt lok leiksins. Þú spilar alla ævi áður en hvert og eitt ykkar er skipt út fyrir nýjustu gervigreind sem deilir hugsunum þínum og persónuleika. Leikurinn heldur áfram. AI hugaklónin, knúin með sólartækni, halda áfram að spila löngu eftir að mannkynið hefur eyðilagt sig í stríði eða loftslagsbreytingar eða einhver önnur brjálæði sem við höfum ekki einu sinni hugsað um ennþá.

Eftir 300 milljón ár, þar sem meginlönd heimsins eru nú sameinaðar í eitt ofurálfu og sólin áberandi bjartari en áður, heldur gervigreind þú og gervigreind vinur þinn áfram að spila á ógnarhraða. Eftir 600 milljón ár hefur bjartandi sólin eyðilagt kolefnishringrás jarðar. Tré og skógar geta ekki lengur vaxið og súrefnismagnið fer að lækka. Banvæn útfjólublá geislun sólarinnar byrjar að brjótast í gegnum lofthjúp jarðar og um 800 milljónir ára hefur öllu flóknu lífi verið eytt, nema gervigreindarmennirnir tveir, sem halda áfram að leika Trjáleikinn.

Eftir um 1,5 milljarða ára, með Gróðurhúsaáhrif á flótta á jörðinni, Vetrarbrautin og Andrómeduvetrarbrautirnar rekast á. Gervigreindin tvö eru of upptekin í leik sínum til að taka eftir því þar sem sólkerfið er sparkað fyrirhafnarlaust út úr vetrarbrautinni vegna árekstursins. Milljarðar ára líða þegar sólin verður eldsneytislaus og breytist í rauðan risa sem kemur hættulega nálægt því að gleypa jörðina. Ytri lög hennar reka burt og sólin endar líf sitt sem veikur hvítur dvergur, varla stærri en jörðin er núna. The AIs eru nú að berjast fyrir áreiðanlegum orkugjafa en þeir halda áfram að spila. Eftir fjögurra milljarða ára hættir sólin að skína alveg. Í stað gervigreindar, orkusvangar, hefur verið skipt út fyrir enn fullkomnari tækni, sem dregur orku úr baði ljóseinda sem eftir eru eftir Miklahvell, í geimgeislun örbylgjuofnsins. Þessi tækni heldur áfram að spila Game of Trees. Leiknum er langt frá því að vera lokið, enn nokkurn veginn undir mörk hans, við TREE(3) hreyfingar.

Á milli um það bil 10 og ⁴⁰ ára og googolannum (googol ár) heldur leikurinn áfram á bakgrunni stórbrotins tímabils yfirráða svarthola, þar sem allt efni hefur verið gúfað af her af svarthol sem ganga linnulaust yfir alheiminn. Handan googolannum hafa þessi svarthol rofnað með ferli sem kallast Hawking geislun og skilur eftir sig kaldur og tóman alheim sem hitnar svo lítið með mildu baði geislaðra ljóseinda. Og samt, þrátt fyrir allt sem liðið er, heldur leikur trjánna áfram.

Getur það náð mörkum TREE(3) hreyfinga?

Það getur það ekki.

Eftir 10 til 10 til 122 ár, löngu áður en Game of Trees er lokið, gengur alheimurinn í gegnum Poincaré endurkomu. Það endurstillir sig. Þetta er vegna þess að alheimurinn okkar er talinn vera endanlegt kerfi sem getur aðeins verið til í endanlegum fjölda skammtaástanda. Endurkoma Poincaré, nefnd eftir fræga franska stærðfræðingnum Henri Poincaré, er eign hvers endanlegrar kerfis, hvort sem það er alheimurinn eða pakki af spilum. Það segir að þegar þú ferð í gegnum kerfið af handahófi muntu fara aftur, óhjákvæmilega, þangað sem þú byrjaðir. Með pakka af kortum stokkar þú og stokkar, og svo eftir langa bið stokkar þú pakkann að lokum þannig að öll spilin eru í röð eins og þau voru þegar þú opnaðir þau fyrst. Með alheiminum okkar stokkar hann og stokkar á milli ýmissa skammtaástanda sinna, og eftir um það bil 10 til 10 til 122 ár, finnur hann sig aftur í frumstöðu sinni.

The Game of Trees gat aldrei klárað en hann sýndi hæfileika okkar til að skilja hið óskiljanlega, að fara á staði með stærðfræði sem efnisheimurinn gæti aldrei náð. Sannleikurinn er sá að TRÆ(3) var ekki of stórt fyrir Erdős eða Kruskal eða aðra stærðfræðinga sem hugleiddu það, en það var of stórt fyrir alheiminn.

Bók Antonio Padilla Fantastic Numbers and Where to Find Them er komin út núna. bresk útgáfa . Bandarísk útgáfa .

Antonio Padilla er eðlisfræðingur og heimsfræðingur við háskólann í Nottingham í Bretlandi, sem sérhæfir sig í að skilja smásjá eiginleika myrkraorku og hefur nýlega gefið út bókina Fantastic Numbers and Where to Find Them . Þú gætir kannast við hann frá framkomu hans á YouTube rásinni Numberphile , þar sem myndbönd hans hafa fengið milljónir og milljón áhorf.